【題目】已知函數
（
）.
（1）若
在點
處的切線與直線
垂直，求實數
的值；
（2）求函數
的單調區間；
（3）討論函數
在區間
上零點的個數.
【答案】（1）
（2）見解析（3）見解析
【解析】試題分析：由
，直線
的斜率為
，
所以
得出a值，（2）確定函數的單調區間
大于零或小于零解不等式即可注意當當
， 
時（3）由（2）可知，
當
時， 
在
上單調遞增，而
，故
在
上沒有零點；
當
時， 
在
上單調遞增，而
，故
在
上有一個零點；只需討論當
時結合草圖根據零點所在的區間逐一討論即可
試題解析：
（1）由題可知
的定義域為
，
因為
，所以
又因為直線
的斜率為
，
，解得
（2）由（1）知： 
，
當
時， 
，所以
在
上單調遞增；
當
時，由
得
，由
得
，所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上所述：當
時， 
在
上單調遞增；當
時， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
（3）由（2）可知，
當
時， 
在
上單調遞增，而
，故
在
上沒有零點；
當
時， 
在
上單調遞增，而
，故
在
上有一個零點；
當
時，
①若
，即
時， 
在
上單調遞減， 
， 
在
上沒有零點；
②若
，即
時， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減，而
， 
， 
，
若
，即
時， 
在
上沒有零點；
若
，即
時， 
在
上有一個零點；
若
，即
時，由
得
，此時， 
在
上有一個零點；
由
得
，此時， 
在
上有兩個零點；
③若
，即
時， 
在
上單調遞增， 
， 
， 
在
上有一個零點.
綜上所述：當
或
時， 
在
上有一個零點；當
或
時， 
在
上沒有零點；當
時， 
在
上有兩個零點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，地面上有一豎直放置的圓形標志物，圓心為C，與地面的接觸點為G．與圓形標志物在同一平面內的地面上點P處有一個觀測點，且PG=50m．在觀測點正前方10m處（即PD=10m）有一個高為10m（即ED=10m）的廣告牌遮住了視線，因此在觀測點所能看到的圓形標志的最大部分即為圖中從A到F的圓弧． 
（1）若圓形標志物半徑為25m，以PG所在直線為x軸，G為坐標原點，建立直角坐標系，求圓C和直線PF的方程；
（2）若在點P處觀測該圓形標志的最大視角（即∠APF）的正切值為 
，求該圓形標志物的半徑．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標系與參數方程．
在平面直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（1）寫出直線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）已知點
.若點
的極坐標為
，直線
經過點
且與曲線
相交于
兩點，設線段
的中點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是 
，則sin2θ﹣cos2θ的值等于（ ） 
A.1
B.﹣ 
C.
D.﹣ 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在實數
和
，使得函數
和
對定義域內的任意
均滿足：
，且存在
使得
，存在
使得
，則稱直線
為函數和的“分界線”．在下列說法中正確的是__________（寫出所有正確命題的編號）．
①任意兩個一次函數最多存在一條“分界線”；
②“分界線”存在的兩個函數的圖象最多只有兩個交點；
③
與
的“分界線”是
；
④
與
的“分界線”是
或
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成
小塊地，在總共
小塊地中，隨機選
小塊地種植品種甲，另外
小塊地種植品種乙．
（1）假設
，求第一大塊地都種植品種甲的概率；
（2）試驗時每大塊地分成
小塊，即
，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：
甲 |
|
|
|
|
|
|
|
|
乙 |
|
|
|
|
|
|
|
|
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為
，其中
為第
題的難度， 
為答對該題的人數， 
為參加測試的總人數．現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題，測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如表所示：
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后，從中隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如表：
（Ⅰ）根據題中數據，估計中240名學生中第5題的實測答對人數；
（Ⅱ）從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數為
，求
的分布列和數學期望；
（Ⅲ）試題的預估難度和實測難度之間會有偏差．設
為第
題的實測難度，請用
和
設計一個統計量，并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預估是否合理．
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