【題目】已知函數
，
（1）討論
的單調性；
（2）若
，
是函數的兩個不同零點，證明：
.
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）由題意對函數求導，根據
、
、
和
分類討論，找到
、
的解集，即可得解；
（2）由題意轉化條件得
有兩個不等實根，通過構造函數、求導可得
，設
，結合函數
的單調性可將原不等式轉化為
，通過構造函數、求導可證明，即可得證.
（1）由題意得
，
，
（i）當時，
，令
得
，
當
時，；當
時，，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；
（i i）當
時，令得
，
，
①當
即時，當時，均有
，
在
上單調遞增；
②當
即時，
當
時，；當
時，；
在
和上單調遞增，在
上單調遞減；
③當
即時，
當
時，；當
時，；
在和
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上所述，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）當時，
，不是的零點，
當
時，由
得，
令
，
則
，
易知
，
當時，
，
，
在上單調遞減，且當時，
；
當時，
，
，
在上單調遞增，且
；
根據函數的以上性質，畫出
的圖象，如圖所示：
由圖可知，
，
是函數的兩個不同零點
直線
與的圖象有兩個交點
即，
不妨設：，
要證
，即要證
，
由（1）知，當時，在上單調遞減，
即要證
，
又
，即要證
，即要證，
令
，
則
，
當時，
，
即
，
，
在上單調遞增，
，
，
原不等式成立.
陽光試卷單元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校水果店有蘋果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等
種水果，西柚數量不多，只夠一個人購買，甲乙丙丁戊
位同學去購買，每人只能選擇其中一種，這位同學購買后，恰好買了其中三種水果，則他們購買水果的可能情況有___________種．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
，經過點
的直線
與該雙曲線交于
兩點.
（1）若與
軸垂直，且
，求
的值；
（2）若
，且的橫坐標之和為
，證明：
.
（3）設直線與
軸交于點
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設
、
為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且
，射線
，
交曲線分別于點
，
.求
面積的最小值，并求此時四邊形
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，動圓
與圓
外切，且與直線
相切，該動圓圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程
（2）過點的直線與拋物線相交于
兩點，拋物線在點A的切線與
交于點N，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】矩形
中，
，
，點
，
分別是
，
上的動點，將矩形沿
所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線
與直線
所成角的范圍(包含初始狀態)為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均為正實數，且滿足a＋b＋c＝m，求證：
＋
＋
≥3.
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