Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）在點 （1，f（1））處的切線方程；
（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值為 ，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（3）當x∈（0，+∞）時，求證：e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x2﹣lnx的導數為f′（x）=2x﹣ ，

函數f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2﹣1=1，

切點為（1，1），可得切線方程為y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0

（2）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數為f′（x）= ，

當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）為減函數，無最小值；

當a＞0時，在（0， ）上，f′（x）＜0；在（ ，+∞）上，f′（x）＞0．

所以當x= 處取得極小值，也為最小值 ﹣ln ，

令 ﹣ln = ，解得a= e2，

則存在實數a= e2，使f（x）的最小值為

（3）解：證明：由（2）得當x＞0時， e2x2﹣lnx≥ ，

可令g（x）= +1，則g′（x）= ，

當0＜x＜e時，g′（x）＞0；當x＞e時，g′（x）＜0．

則x=e處，g（x）取得最大值g（e）=1+ ，

且1+ ＜1+ = ，

則 e2x2﹣lnx＞ +1，

即e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx

【解析】（1）求得f（x）的導數，可得切線的斜率，求出切點，由點斜式方程可得切線的方程；（2）求出導數，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，求出單調區間，求得最小值，解方程可得a的值；（3）由（2）得當x＞0時， e2x2﹣lnx≥ ，可令g（x）= +1，求出導數，單調區間，可得最大值，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．