Question

【題目】某學校的平面示意圖為如下圖五邊形區域ABCDE，其中三角形區域ABE為生活區，四邊形區域BCDE為教學區，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學校的主要道路（不考慮寬度）. ， ．
（1）求道路BE的長度；
（2）求生活區△ABE面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

如圖，連接BD，在△BCD中，由余弦定理得： ，

∴ ．

∵BC=CD，∴ ，

又 ，∴ ．

在Rt△BDE中，所以

（2）解：設∠ABE=α，∵ ，∴ ．

在△ABE中，由正弦定理，得 ，

∴ ．

∴

= ．

∵ ，∴ ．

∴當 ，即 時，S△ABE取得最大值為 ，

即生活區△ABE面積的最大值為

注：第（2）問也可用余弦定理和均值不等式求解

【解析】（1）連接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE中，求解BE即可．（2）設∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S△ABE ， 然后求解最大值．