Question

設A是如下形式的2行3列的數表，

a	b	c
d	e	f

滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．
記r_i（A）為A的第i行各數之和（i=1，2），C_j（A）為A的第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r₁（A）|，|r₂（A）|，|c₁（A）|，|c₂（A）|，|c₃（A）|中的最小值．
（1）對如下數表A，求k（A）的值

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）設數表A形如

1	1	-1-2d
d	d	-1

其中-1≤d≤0．求k（A）的最大值；
（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k（A）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據r_i（A）為A的第i行各數之和（i=1，2），C_j（A）為A的第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r₁（A）|，|r₂（A）|，|c₁（A）|，|c₂（A）|，|c₃（A）|中的最小值可求出所求；
（2）k（A）的定義可求出k（A）=1+d，然后根據d的取值范圍可求出所求；
（III）任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A^*仍滿足性質P，并且k（A）=k（A^*）
因此，不防設r₁（A）≥0，c₁（A）≥0，c₂（A）≥0，然后利用不等式的性質可知3k（A）≤r₁（A）+c₁（A）+c₂（A），從而求出k（A）的最大值．
解答：解：（1）因為r₁（A）=1.2，r₂（A）=-1.2，c₁（A）=1.1，c₂（A）=0.7，c₃（A）=-1.8，
所以k（A）=0.7
（2）r₁（A）=1-2d，r₂（A）=-1+2d，c₁（A）=c₂（A）=1+d，c₃（A）=-2-2d
因為-1≤d≤0，
所以|r₁（A）|=|r₂（A）|≥1+d≥0，|c₃（A）|≥1+d≥0
所以k（A）=1+d≤1
當d=0時，k（A）取得最大值1
（III）任給滿足性質P的數表A（如下所示）

a	b	c
d	e	f

任意改變A三維行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A^*仍滿足性質P，并且k（A）=k（A^*）
因此，不防設r₁（A）≥0，c₁（A）≥0，c₂（A）≥0，
由k（A）的定義知，k（A）≤r₁（A），k（A）≤c₁（A），k（A）≤c₂（A），
從而3k（A）≤r₁（A）+c₁（A）+c₂（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b-f）=a+b-f≤3
所以k（A）≤1
由（2）可知，存在滿足性質P的數表A使k（A）=1，故k（A）的最大值為1．
點評：本題主要考查了進行簡單的演繹推理，同時分析問題的能力以及不等式性質的應用，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．