Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成直二面角,如圖二，在二面角中.

(1)求證：BD⊥AC；
(2)求D、C之間的距離；
(3)求DC與面ABD成的角的正弦值。

Answer 1

(1)根據線面垂直的性質定理來得到線線垂直的證明。關鍵的一步是利用面ABD面ABC，得到BD面ABC，加以證明。
(2) 2 (3)

試題分析： 解：(1)依題意，面ABD面ABC，AB是交線，
而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，
 BD⊥AC；          4分
(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，
 BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，
DC===2；       8分
(3)取AB的中點H，連CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，
CHAB，又面ABC面ABD，
 CH面ABD，
DH是DC在面ABD內的射影，
CDH是DC與面ABD成的角。
而CH=BC=，由(2)DC=2，
sinCDH===即為所求。      12分
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用判定定理和性質定理得到垂直的證明，以及角的求解，屬于基礎題。