Question

已知橢圓C：＝1，過點M(2，0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．在x軸上若存在定點P，使PM平分∠APB，則P的坐標為________．

Answer 1

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直線AB的方程為x＝my＋2.將直線AB的方程與橢圓C的方程聯立，消去x得(4m²＋9)y²＋16my－20＝0，所以y₁＋y₂＝，y₁y₂＝.
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以k_PA＋k_PB＝0.設P(a，0)，則有＋＝0，將x₁＝my₁＋2，x₂＝my₂＋2代入上式，整理得＝0，
所以2my₁y₂＋(2－a)(y₁＋y₂)＝0.將y₁＋y₂＝，y₁y₂＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式對任意實數m都成立，所以a＝.
綜上，x軸上存在定點P，使PM平分∠APB.