Question

【題目】已知函數

若是函數的極值點，1是函數的一個零點，求的值；

當時，討論函數的單調性；

若對任意，都存在，使得成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）先求導得到，由，，得到的值，繼而求出的值；

（2）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；

（3）令，問題轉化為上有解即可，亦即只需存在使得即可，連續利用導函數，然后分別對，看是否存在使得，進而得到結論.

（1），

∵是函數的極值點，

∴．

∵1是函數的零點，得，

由，

解得，，

∴；

（2）時，，，

，

時，，遞增，

時，令，解得：，

令，解得：，

故在遞減，在遞增；

（3）令，，則為關于的一次函數且為增函數，

根據題意，對任意，都存在（ 為自然對數的底數），使得成立，

則在上，有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，，

∴在上單調遞增，，

①當，即時，，即，在上單調遞增，∴，不符合題意．

②當，即時，，

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上單調遞減，

∴存在使得，符合題意．

若，則，∴在上一定存在實數，使得，

∴在上恒成立，即恒成立，∴在上單調遞減，

∴存在使得，符合題意．綜上所述，當時，對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立．