Question

設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入五個盒子內．
（1）只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先選定兩個不同的球，看作一個球，選法有C₅²種，再從5個盒子中選出4個盒子放入這4個球，有

A

4 5

種投放方法，由此根據分步計數原理求得結果．
（2）沒有一個盒子空著，相當于5個元素排列在5個位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號 全相同只有1種，減去即可．

解答：解：（1）首先選定兩個不同的球，看作一個球，這樣，5個球變成了4個球，選法共有C₅²=10種，
再從5個盒子中選出4個盒子放入這4個球，有

A

4 5

=120種投放方法．
∴共計有 10×120=1200 滿足條件的方法．  
（2）沒有一個盒子空著，相當于5個元素排列在5個位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號全相同只有1種，
所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有  A₅⁵-1=119種．

點評：本題主要考查排列、組合問題，解題的關鍵是把兩個球先看成一個球，注意用間接法求解，屬于中檔題．