Question

【題目】在正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）設為截面內-點（不包括邊界），求到面，面，面的距離平方和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】

（1）利用在正方體的幾何性質，得到，通過線面垂直和面面垂直的判定定理證明.

（2）根據和平面平面，知是在平面上的射影，即為直線與平面所成的角，然后在中求解.

（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，構成一個長方體，設到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長方體體對角線長的平方，當且僅當平面時，最小，然后用等體積法求解.

（1）如圖所示：

在正方體中且，

所以平面 ，

又因為平面，

所以平面平面.

（2）因為，

由（1）知平面平面，

所以是在平面上的射影，

所以即為直線與平面所成的角，

在中，

所以.

（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，

構成一個長方體，設到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長方體體對角線長的平方，

當且僅當平面時，最小，

又因為，

即，

，

.