Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點連結，，先證明平面BOP，即可證明；

（2）先證明兩兩垂直.以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到結果.

（1）證明：取中點連結，，

，.

又四邊形為菱形，，故是正三角形，

又點是的中點，.

又，平面，

平面，又平面.

.

（2）解：，點是的中點，.

又平面平面.

平面平面，平面，

平面，又平面.

，.又，

所以兩兩垂直.

以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

設，則各點的坐標分別為，，.

故，，，，

設，分別為平面，平面的一個法向量，

由可得，令，則，，故.

由可得，令，則，，故.

.

又由圖易知二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值是.