Question

已知函數是奇函數．
（1）求m的值；
（2）請討論它的單調性，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數奇偶性的定義可知，f（-x）+f（x）=0，將f（x）的解析式代入求解m即可．
（2）先求出f（x）的定義域，因為函數是奇函數，故只要先判斷f（x）在（0，1）內的單調性即可，可由單調性的定義直接判斷．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，∴f（-x）+f（x）=0；
即，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
經驗證當m=1時，確是奇函數．
（2）先研究f（x）在（0，1）內的單調性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設x₁＜x₂，則
，
，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）內單調遞減；
由于f（x）是奇函數，其圖象關于原點對稱，所以函數f（x）在（-1，0）內單調遞減．
點評：本題考查函數單調性的判斷和證明及已知奇偶性求參數和奇偶性的應用問題，屬基本題型的考查．