Question

如圖，在五面體ABCDEF中，，，，

（Ⅰ）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為？若存在，試確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在，點M為CE中點。

解析試題分析：解法一：建立如圖所示的直角坐標系，                              ……2分

不妨設AB＝１
則     
（Ⅰ）
                                ……5分
異面直線BF與DE所成角的余弦值為．                                  ……6分
（Ⅱ）設平面CDE的一個法向量為

得
     令                           ……8分
設存在點M滿足條件，由

　                                                       ……10分
直線AM與平面CDE所成角的正弦值為
 
故當點M為CE中點時，直線AM與面CDE所成角的正弦值為．                 ……13分
解法二：（Ⅰ）不妨設AB＝１，且

∴∠CED異面直線BF與DE所成角      
CE=BF=,ED=DC=,

所以，異面直線BF與DE所成角的余弦值為                                  ……6分
（Ⅱ）令A到平面CDE距離為h，在AD上取點N，使得EF=AN，連結EN
，為平行四邊形
                                          ……8分

                                                 ……10分
令AM與平面CDE所成角為，
過M作MG//EF交FB于G
在平行四邊形EFBC中，MG=BC=1
中
解得：，為FB的中點
MG//EF，為EC的中點。                                               ……13分
考點：本題考查了空間幾何體中異面直線夾角及線面角的求法與應用。
點評：從近些年看，以多面體為載體，重點考查直線與平面的位置關系一直是高考立體幾何命題的熱點．因為這類題目既可以考查多面體的概念和性質，又能考查空間的線面關系，并將論證和計算有機地結合在一起