Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx+2cosx，3cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈R．求
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算并且結(jié)合利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為 2+

2

sin(2x+

π

4

)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（II）通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：因?yàn)橄蛄?span id="3kcy2j7" class="MathJye">

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx+2cosx，3cosx），
所以f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+2．…（2分）
（Ⅰ）由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

8

，k∈Z．
所以f（x）的最大值為2+

2

，…（4分）
此時(shí)自變量x的集合為{x| x=kπ+

π

8

，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，  kπ+

π

8

]（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要是通過向量的數(shù)量積考查三角函數(shù)的最值、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)掌握的熟練程度，高考常考題型．