Question

已知數列{a_n}滿足：，且．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數列{b_n}為等比數列，并求其通項公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=1，2，3代入已知遞推公式中即可求解a₂，a₃，a₄；
（2）由等比數列的定義，只要證明為常數即可，然后結合等比數列的通項公式可求
（3）由a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n，可利用分組求和，結合等差數列與等比數列的求和公式即可求解
解答：（1）解：∵，
∴，…（2分）
（2）證明：由題意可得，當=
∴，
∴數列{b_n}是以-為首項，以為公比的等比數列
∴…（6分）
（3）解：∵a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n+2n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）+2n]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）+4n
=．…（12分）
點評：本題 主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的項，等比數列的定義在等比數列的證明中的應用，分組求和方法及等比數列、等差數列的求和公式等 知識的綜合應用