Question

用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設容器的高為h米，蓋子邊長為a米．
（1）求a關于h的函數解析式；
（2）設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值．（求解本題時，不計容器的厚度）

Answer 1

分析：（1）根據題意，寫出關于容器的高h米與蓋子邊長a米的函數關系式，
（2）根據題意寫出容器的容積為V的表達式，然后根據基本不等式求出最值以及此時h的值．

解答：解：（1）設h'為正四棱錐的斜高
由已知

a2+4• 1 2 h′a=2 h2+ 1 4 a2=h′2

解得a=

1

h2+1

(h＞0)
（2）V=

1

3

ha2=

h

3(h2+1)

(h＞0)
易得V=

1

3(h+ 1 h )

因為h+

1

h

≥2

h• 1 h

=2，所以V≤

1

6

等式當且僅當h=

1

h

，即h=1時取得．
故當h=1米時，V有最大值，V的最大值為

1

6

立方米．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．本題需要構建一個容器的高h米與蓋子邊長a米的函數關系式，并會用基本不等式求出最值以及最值時h的取值．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．