Question

給定直線l:y=2x-16,拋物線C：y²=ax(a>0).
(1)當拋物線C的焦點在直線l上時，確定拋物線C的方程；
(2)若△ABC的三個頂點都在(1)所確定的拋物線C上，且點A的縱坐標y_a=8,△ABC的重心恰在拋物線C的焦點上，求直線BC的方程.

Answer 1

BC的直線方程為y+4=-4(x-11),即4x+y-40=0.

(1)∵拋物線的焦點為(,0),代入y=2x-16,得a=32.
∴拋物線方程為y²=32x.
(2)∵y_A=8,∴x_A=2.
∵F(8,0)為△ABC的重心，∴
又(y_B+y_C)(y_B-y_C)=32(x_B-x_C)=-4=k_BC,
又中線AF與BC交點坐標x==11,y===-4,
∴BC的直線方程為y+4=-4(x-11),即4x+y-40=0.