Question

已知點P是圓x²+y²=1上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，設

OM

=

OP

+

OQ

（1）求點M的軌跡方程
（2）求向量

OP

和

OM

夾角的最大值，并求此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設P（x_°，y_°），M（x，y），由條件可得

x=2x° y=y°

?

x°= 1 2 x y°=y

，再由 x_°²+y_°²=1，得到

x2

4

+y2=1．
（2）設向量

OP

與

OM

的夾角為α，cosα=

OP • OM

| OP |•| OM |

=

2 x ° 2 + y ° 2

4 x ° 2 + y ° 2

=

( x ° 2 +1)2 3 x ° 2 +1

，令t=3x_°²+1，則cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，由此求得結論．

解答：解：（1）設P（x_°，y_°），M（x，y），則

OP

=(x°，y°)，

OQ

=(x°，0)，

OM

=

OP

+

OQ

=(2x°，y°)=（x，y）．
∴

x=2x° y=y°

?

x°= 1 2 x y°=y

，∵x_°²+y_°²=1，∴

x2

4

+y2=1．
（2）設向量

OP

與

OM

的夾角為α，則cosα=

OP • OM

| OP |•| OM |

=

2 x 2 ° + y 2 °

4 x 2 ° + y 2 °

=

( x 2 ° +1)2 3 x 2 ° +1

令t=3x_°²+1，則cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，
當且僅當t=2時，即P點坐標為(±

3

3

，±

6

3

)時，等號成立．∴

OP

與

OM

夾角的最大值是arccos

2 2

3

．

點評：本題考查點軌跡方程的求法，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式和基本不等式的應用，得到
cosα=

1

3

(t+2)2 t

=

1

3

t+ 4 t +4

≥

2 2

3

，是解題的難點．