Question

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為．

（1）求的值，并求函數(shù)的最值；

（2）當時，求證：.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由，可求得b=1,代入函數(shù)得，所以分0和0討論單調(diào)性，再求得函數(shù)最值。（2）構(gòu)造函數(shù)，只需證 在R上恒成立，顯然時，符合，當時，，導(dǎo)函數(shù)零點，由單調(diào)可知下證 ，在區(qū)間上恒成立。

試題解析：（1）由題得，，

根據(jù)題意，得，∴，

∴．

當時，，在上單調(diào)遞減，沒有最值；

當時，令，得，令，得，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴在處取得唯一的極大值，即為最大值，且．

綜上所述，當時，沒有最值；

當時，的最大值為，無最小值．

（2）要證，即證，

令，

當時，，∴成立；

當時，，

當時，；當時，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴．

∵，

∴，，

∴，即成立，

故原不等式成立．