Question

【題目】如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．

（1）若直線過原點，求證：為定值；

（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），詳見解析

【解析】

（1）設，，由橢圓對稱性得，把點，的坐標都代入橢圓得到兩個方程，再相減，得到兩直線斜率乘積的表達式；

（2）設，，，則，由得：，進而得到直線的方程，再與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到坐標之間的關系，最后整體代入消元，得到為定值.

（1）當過原點時，設，，由橢圓對稱性得，

則．

∵，都在橢圓上，∴，，

兩式相減得：，即．

故．

（2）設，，，則，∵，

∴，設直線的方程為()，

聯立方程組消去，

整理得．

∵在橢圓上，∴，

上式可化為．

∴，，

∴，

，

，

∴

；

．

∴（定值）．