Question

【題目】如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為θ的扇形,A是扇形弧PQ上的動點,AB∥OQ,OP與AB交于點B,AC∥OP,OQ與AC交于點C.

(1)當θ=時,求點A的位置,使矩形ABOC的面積最大,并求出這個最大面積;

(2)當θ=時,求點A的位置,使平行四邊形ABOC的面積最大,并求出這個最大面積.

Answer 1

【答案】（1）A點在的中點時,矩形ABOC面積最大,最大面積為；（2）當A是的中點時,平行四邊形面積最大,最大面積為.

【解析】試題分析：（1）若θ=，由題意得OB=cos α,AB=sin α.求得矩形面積S=OB·AB=sin αcos α，即可得最值；

（2）當θ=時，連接OA,設∠AOP=α,過A點作AH⊥OP,垂足為H，

試題解析：

(1)連接OA,設∠AOB=α,

則OB=cos α,AB=sin α.

∴矩形面積S=OB·AB=sin αcos α.

∴S=sin 2α.

由于0<α<,

∴當2α=,即α=時,S最大=.

∴A點在的中點時,矩形ABOC面積最大,最大面積為.

(2)連接OA,設∠AOP=α,過A點作AH⊥OP,垂足為H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.

在Rt△ABH中, =tan 60°=,∴BH=sin α.

∴OB=OH-BH=cos α-sin α.

設平行四邊形ABOC的面積為S,

則S=OB·AH=sin α

=sin αcos α-sin2α=sin 2α- (1-cos 2α)

=sin 2α+cos 2α-

=

=sin.

由于0<α<,

∴當2α+,

即α=時,S最大=.

∴當A是的中點時,平行四邊形面積最大,最大面積為.