Question

【題目】已知點是圓：上一動點，線段與圓：相交于點.直線經過，并且垂直于軸，在上的射影點為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設圓與軸的左、右交點分別為，，點是曲線上的點（點與，不重合），直線，與直線：分別相交于點，，求證：以直徑的圓經過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

(1)設點，,由已知條件找到兩點坐標之間的關系，然后利用相關點法即可求得點E的軌跡方程；（2）根據已知條件設直線AP,BP的方程，當x=4時可得點M,N的坐標，從而可得以MN為直徑的圓的方程，整理即得圓經過的定點.

（1）設點，.

當時，易得；

當時，有，所以.又，所以.

代入的方程，得，即.

（2）證明：設直線，的斜率分別為，，記.

則 ，.

直線的方程為，所以.

直線的方程為，所以.

以為直徑的圓的方程為.

整理，得 .

令解得或

所以以為直徑的圓過定點，.