Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=x（2+x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并寫出單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＞0，則﹣x＜0，

∵當x≤0時，f（x）=x（2+x），

∴f（﹣x）=﹣x（2﹣x）．

又f（x）是定義在R上的奇函數，即f（﹣x）=﹣f（x），

∴當x＞0時，f（x）=x（2﹣x）．

故函數f（x）的解析式為

（2）解：

函數f（x）的單調遞增區間為[﹣1，1]，單調遞減區間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．

【解析】（1）當x＞0，則﹣x＜0，由已知表達式可求得f（﹣x），由奇函數的性質可得f（x）與f（﹣x）的關系，從而可求出f（x）；（2）根據函數的解析式，得出函數f（x）的圖象，從而寫出單調區間．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．