Question

（13分）某家庭為小孩買教育保險，小孩在出生的第一年父母就交納保險金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的保險金數目為a₁,a₂,…是一個公差為d的等差數列，與此同時保險公司給予優惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，這就是說，如果固定利率為r（ｒ＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的保險金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險金就變為a₂（1+r）^n-2,…，以Tn表示到第n年末所累計的保險金總額。
（1）寫出T_n與T_n+1的遞推關系（n≥1）；
（2）若a₁=1,d=0.1，求｛T_n｝的通項公式。（用r表示）

Answer 1

（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd ；（2）Tn=。

本題考查數列模型的構建，考查錯位相減法的運用，解題的關鍵是正確構建數列模型．
（Ⅰ）根據在第n年末，第一年所交納的保險金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結論；
（Ⅱ）根據已知中Tn所表示的實際意義，根據T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額，及儲備金總額的計算方法計算T_n，然后對其進行分解，并對分解結合等差數列等比數列的定義進行分析，不難得到結果．
解：（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+  T₁=a₁=1
用待定系數法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=
Tn=（7分）