Question

已知

a

、

b

是不共線的向量，且

a

=（5cosα，5sinα），

b

=（5cosβ，5sinβ）
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
（2）若|

a

+

b

|=5

3

，求cos（α-β）

Answer 1

分析：（1）根據兩向量的坐標表示分別求出兩向量的模，要證明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），只需得到兩向量的數量積為0，故求出兩向量的數量積，化簡后將兩向量的模代入即可得到值為0，得證；
（2）把已知的等于兩邊平方，把兩向量的模代入即可求出

a

•

b

的值，然后利用平面向量的數量積運算法則表示出

a

•

b

，令其值等于求出的值，即可求出cos（α-β）的值．

解答：解：（1）∵

a

=（5cosα，5sinα），

b

=（5cosβ，5sinβ）
∴|

a

|=|

b

|=5，
又∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=|

a

|²-|

b

|²=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；                   
（2）|

a

+

b

|²=（

a

+

b

）²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

=50+2

a

•

b

=75，
∴

a

•

b

=

25

2

又∵

a

•

b

=25cosαcosβ+sinαsinβ=25cos（α-β）=

25

2

∴cos（α-β）=

1

2

．（10分）

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，以及兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握平面向量的數量積運算法則及三角函數公式是解本題的關鍵．