Question

（文科做） 如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分別為AD，CD，BB₁，C₁D₁的中點
（1）求點P到平面MNQ的距離；
（2）求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據PB∥平面MNQ，則P到平面MNQ的距離即為B到平面MNQ的距離，在平面ABCD中，連接BD則BD⊥MN，求出點B到MN的距離即可求出所求；
（2）設N到MPQ之距為d，然后利用利用等體積法求出d，從而可求出PN與平面MPQ所成角θ的正弦值．
解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分別為AD、DC、BB₁、C₁D₁中點
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距離即B到平面MNQ的距離．
在平面ABCD中，連接BD則BD⊥MN，故B到MN之距為，
因此P到平面MNQ的距離為．
（2）在四面體N-MPQ中，，又底面三角形MPQ是正三角形，    ，
設N到MPQ之距為d
，
∴．
故PN與平面MPQ所成角θ的正弦值．
點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及點、線、面間的距離計算，屬于中檔題．