Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=+ax，aR，

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：≥x；

（3）求證：當(dāng)a≥-2時(shí)，x[1,+ ∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，求得，根據(jù)和，分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，即可證明不等式；

（3）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式，設(shè)出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可作出證明．

試題解析：

(1)解：fˊ(x) = +a.

（i）當(dāng)a≥0時(shí), fˊ(x)>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng) a<0 時(shí)，令fˊ(x) =0,則ln（-a）+1，

當(dāng)fˊ(x)>0,即x>ln( -a) + 1時(shí)，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增；

當(dāng)fˊ(x)<0,即x<ln( -a) + 1時(shí)，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(-a)+1，+∞)， 單調(diào)遞減區(qū)間是(一∞,ln(-a)十1).

（2）證明:令 a= — 1,由（1)可知，函數(shù)/(x) =—x 的最小值為f (1)=0,

∴—x≥0, 即≥x

（3）證明：f (x)十ln ≥a+1 恒成立與f (x)十ln x-a-1≥0 f恒成立等價(jià).

令 g(x)=f(x)+lnx-a-1,g(x)=+ a(x—1)+ lnx-1,則gˊ(x) =++a.

當(dāng)a≥—2時(shí)，gˊ（x) = 十十a(chǎn)≥x十十a(chǎn)≥+a = a十2≥0,(或令φ(x) = 十，則φˊx) = —在[1，十∞)上遞增，∴φˊ (x)在[1，十∞)上遞增，∴φ(x) ≥φ(1) = 2，

∴gˊ(x) ≥0).

∴g(x)在區(qū)間[1，十∞)上單調(diào)遞增，

∴g(x) ≥g(1)=0，

∴ f(x)十ln x≥a+1 恒成立