Question

【題目】已知連續不斷函數，，，

（1）證明：函數在區間上有且只有一個零點；

（2）現已知函數在上單調遞增，且都只有一個零點（不必證明），記三個函數的零點分別為。

求證：Ⅰ)；

Ⅱ）判斷與的大小，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）由函數的解析式可知函數在區間上單調遞減，結合函數零點存在定理可得函數在區間上有且只有一個零點；

（2）Ⅰ）由題意可得，結合函數的對稱性可得；

Ⅱ）由題意結合函數的特征可證得.

詳解：

（1）先證明在區間上有零點：由于，

由零點存在性定理知在區間上有零點

再證明在上是單調遞減函數：設

由于在上遞減，所以又

從而，即在上是單調遞減函數.

故函數在有且只有一個零點.

（2）Ⅰ）因為是的零點，所以有，將其變形為

，即，從而有=0 ，

又因為，且由（1)的結論在上有唯一零點，

從而有， .

Ⅱ）判斷，證明如下：

由于，

由零點存在性定理和已知得，從而有，

所以有，又由已知在上單調遞增，所以.