已知函數
．
(Ⅰ)求函數
的最小值；
(Ⅱ)求證：
；
(Ⅲ)對于函數
與
定義域上的任意實數
，若存在常數
，使得
和
都成立，則稱直線
為函數與的“分界線”.設函數
，
，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
(Ⅰ)的最小值為
；(Ⅱ)詳見解析；（Ⅲ）
，
解析試題分析：(Ⅰ)求導得：
，由此可得函數在
上遞減，
上遞增，
從而得的最小值為．
(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結果.由(Ⅰ)知
.這個不等式如何用？結合所在證的不等式可以看出，可以兩端同時乘以
變形為：
，把
換成
得
，在這個不等式中令
然后將各不等式相乘即得.
（Ⅲ）結合題中定義可知，分界線就是一條把兩個函數的圖象分開的直線.那么如何確定兩個函數是否存在分界線？顯然，如果兩個函數的圖象沒有公共點，則它們有無數條分界線，如果兩個函數至少有兩個公共點，則它們沒有分界線.所以接下來我們就研究這兩個函數是否有公共點.為此設
.通過求導可得當
時
取得最小值0，這說明與的圖象在
處有公共點
．如果它們存在分界線，則這條分界線必過該點.所以設與的“分界線”方程為
.由于的最小值為0，所以
，所以分界線必滿足
和
.下面就利用這兩個不等式來確定
的值.
試題解析：(Ⅰ)解：因為，令
，解得
，
令
，解得
，
所以函數在上遞減，上遞增，
所以的最小值為． 3分
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數在
取得最小值，所以
，即
兩端同時乘以得，把換成得，當且僅當
時等號成立．
由得，
，
， 
， 
，
．
將以上各式相乘得：
． 9分
（Ⅲ）設
.
則
．
所以當
時，
；當
時，
．
因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．
設與存在 “分界線”，方程為.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
．
（Ⅰ）若曲線
在
與
處的切線相互平行，求
的值及切線斜率；
（Ⅱ）若函數在區間
上單調遞減，求的取值范圍；
（Ⅲ）設函數
的圖像C1與函數
的圖像C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明：C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不可能平行．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中實數a為常數．
(I)當a=-l時，確定
的單調區間：
(II)若f(x)在區間
（e為自然對數的底數）上的最大值為-3，求a的值；
(Ⅲ)當a=-1時，證明
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的圖象在
上連續，定義：
，
.其中，
表示函數在
上的最小值，
表示函數在上的最大值.若存在最小正整數
，使得
對任意的
成立，則稱函數為上的“階收縮函數”.
（Ⅰ）若
，試寫出
，
的表達式；
（Ⅱ）已知函數
，試判斷是否為
上的“階收縮函數”.如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知
，函數
是
上的2階收縮函數，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為
元，則銷售量
（單位：件）與零售價（單位：元）有如下關系：
，問該商品零售價定為多少元時毛利潤
最大，并求出最大毛利潤．（毛利潤
銷售收入
進貨支出）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
（1）若函數
與
的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數
的值及點P的坐標；
（2）若函數與的圖象有兩個不同的交點M、N，求實數的取值范圍 .
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為實常數，函數
.
的單調性；
；
且
.（注：
為自然對數的底數）
.
，求函數
的極值，并指出是極大值還是極小值；
，求證：在區間
上，函數
的圖像的下方.
.
的極值點；
時，若對任意的
，恒有
，求
的取值范圍；
.