Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長為，，分別是棱，的中點，過直線，的平面分別與棱、交于，，設，，給出以下四個命題：

①平面平面；

②當且僅當時，四邊形的面積最小；

③四邊形周長，是單調函數；

④四棱錐的體積為常函數；

以上命題中假命題的序號為（ ）．

A. ①④ B. ② C. ③ D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】①連接，，

在正方體中，

平面，

∴平面平面，①正確；

②連接，

∵平面，

四邊形的對角線是固定的，

要使面積最小，

只需的長度最小即可，

此時為棱中點，，

長度最小，對應四邊形的面積最小，②正確；

③∵，

∴四邊形是菱形，

當時，長度由大變小，

當時，長度由小變大，

∴函數不是單調函數，③錯誤；

④連接，，，

四棱錐分割成兩個小三棱錐，

以為底，分別以、為頂點，

∵面積是個常數，

、到平面的距離是個常數，

∴四棱錐的體積為常函數，④正確．