Question

【題目】已知橢圓 +y2=1（a＞1），過直線l：x=2上一點P作橢圓的切線，切點為A，當P點在x軸上時，切線PA的斜率為± ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，求△POA面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當P點在x軸上時，P（2，0），PA： ， ，
△=0a2=2，橢圓方程為 ；
（Ⅱ）設切線為y=kx+m，設P（2，y0），A（x1 ， y1），
則 （1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0△=0m2=2k2+1，…7
且 ，y0=2k+m
則 ，
PA直線為 ，A到直線PO距離 ，
則
= ，
∴（S﹣k）2=1+2k2k2+2Sk﹣S2+1=0，
，此時 ．

【解析】（Ⅰ）由P在x軸設出P點坐標及直線PA方程，將PA方程與橢圓方程聯立，整理關于x的一元二次方程，△=0求得a2 ， 即可求得橢圓方程；（Ⅱ）設出切線方程和點P及點A的坐標，將切線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，△=0，求得A和P點的坐標，求得|PA|及A到直線OP的距離，根據三角形的面積公式求得S=|k+ |，平方整理關于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．