Question

（2013•海淀區二模）已知函數f（x）=e^x，A（a，0）為一定點，直線x=t（t≠0）分別與函數f（x）的圖象和x軸交于點M，N，記△AMN的面積為S（t）．
（Ⅰ）當a=0時，求函數S（t）的單調區間；
（Ⅱ）當a＞2時，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據題意得到函數S（t）的解析式，再由導數與函數單調性的關系解不等式即可求函數S（t）的單調區間；
（Ⅱ）當a＞2時，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，轉化為S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1．下面對字母a進行分類討論：a-1≥2；a-1＜2．可得出關于a的不等關系，從而可求出a的范圍；

解答：解：（I） 因為S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a…（2分）
當a=0，S(t)=

1

2

|t|et，其中t≠0
當t＞0時，S(t)=

1

2

tet，S′(t)=

1

2

(t+1)et，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上遞增，…（4分）
當t＜0時，S(t)=-

1

2

tet，S′(t)=-

1

2

(t+1)et，
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＞0，解得t＜-1，所以S（t）在（-∞，-1）上遞增
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＜0，解得t＞-1，所以S（t）在（-1，0）上遞減 …（7分）
綜上，S（t）的單調遞增區間為（0，+∞），（-∞，-1），S（t）的單調遞增區間為（-1，0）
（II）因為S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a
當a＞2，t∈[0，2]時，S(t)=

1

2

(a-t)et
因為?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1…（8分）
當a-1≥2時，即a≥3時S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0對t∈（0，2）成立，S（t）單調遞增，
所以當t=2時，S（t）取得最大值S(2)=

1

2

(a-2)e2
令

1

2

(a-2)e2≥e，解得   a≥

2

e

+2，
所以a≥3…（10分）
當a-1＜2時，即a＜3時S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0對t∈（0，a-1）成立，S（t）單調遞增，S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＜0對t∈（a-1，2）成立，S（t）單調遞減，
所以當t=a-1時，S（t）取得最大值S(a-1)=

1

2

ea-1，
令S(a-1)=

1

2

ea-1≥e，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
綜上所述，ln2+2≤a…（13分）

點評：本題考查了應用導數研究函數的單調性，以及函數在閉區間上的最值問題，同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數學思想．