Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為.若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求圓的參數(shù)方程；

（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上動(dòng)點(diǎn)，試求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）為參數(shù)（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得直角坐標(biāo)方程，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得圓 的參數(shù)方程．
（Ⅱ）解法一：設(shè)，得代入

整理得，令。則問題得解

解法二：由（Ⅰ）可得，設(shè)點(diǎn) 可得，可得 ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出最大值．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，

即為圓C的普通方程．

所以所求的圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))

（Ⅱ） 解法一：設(shè)，得代入整理得

(*)，則關(guān)于方程必有實(shí)數(shù)根

∴，化簡得

解得，即的最大值為11.

將代入方程(*)得，解得，代入得

故的最大值為11時(shí)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

解法二：由（Ⅰ）可得，設(shè)點(diǎn),

,

其中，，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，,即，所以，

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.