Question

如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，點(diǎn)在正方體的棱上．
（１）  當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；
（２）  當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值；
（３）  當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值．
由以上問(wèn)題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？
 

Answer 1

（1）有最小值 （2）取得最小值 （3）最小值是

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為．
（１）  當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)．
　　　．
當(dāng)時(shí)，的最小值為，即點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，有最小值．
（２）  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131210982202.gif" style="vertical-align:middle;" />在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)．是定點(diǎn)，所以當(dāng)
時(shí)，最短．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，是等腰三角形，所以，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值．
（３）  當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)
時(shí)，的最小值仍然是．
證明：如下圖，設(shè)，由正方體的對(duì)稱性，顯然有．
設(shè)在平面上的射影是．在中，，所以，即有．
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
由已知，可設(shè)，則
．
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值是．