Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)且它的離心率為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)，所以，b²=2，
又因?yàn)闄E圓C₁的離心率，所以，解得a²=3．
所以橢圓C₁的方程是；
（2）因?yàn)榫�段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，
所以|MP|=|MF₂|，即動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，
所以點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x；
（3）設(shè)R（x₁，y₁），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，則圓心，
過(guò)O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O₁的一個(gè)交點(diǎn)為G．
可得：，
即
=
=，
當(dāng)t=3時(shí)，|EG|²=3，此時(shí)直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長(zhǎng)恒為定值．
因此存在直線m：x=3滿足題意．
分析：（1）根據(jù)橢圓所過(guò)點(diǎn)A可求得b值，再由離心率及a²=b²+c²即可求得a值，
（2）由題意可知|MP|=|MF₂|，即動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，從而可判斷動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，進(jìn)而可求得其方程；
（3）設(shè)R（x₁，y₁），假設(shè)存在直線m：x=t滿足題意，可表示出圓O₁的方程，過(guò)O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓O₁的一個(gè)交點(diǎn)為G．利用勾股定理可用t，x₁表示出|EG|²，根據(jù)表達(dá)式可求得t值滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究能力解決問(wèn)題的能力，（2）問(wèn)的解決基礎(chǔ)是掌握拋物線的定義，（3）問(wèn)探究問(wèn)題的處理方法往往是先假設(shè)存在，然后由條件進(jìn)行推導(dǎo)，如滿足條件即存在，否則不然．