Question

設函數g(x)=

x

+1，函數h(x)=

1

x+3

，x∈(-3，a]，其中a為常數且a＞0，令函數f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當a=

1

4

時，求函數f（x）的值域；
（3）是否存在自然數a，使得函數f（x）的值域恰為[

1

3

，

1

2

]？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數a所構成的集合；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的表達式，由g（x），h（x）的定義域求解函數f（x）的定義域．
（2）當a=

1

4

時，函數f（x）的定義域即可確定，利用換元和基本不等式求最值即可；
（3）結合（2）利用函數的值域求出關于a的表達式，求出a的范圍即可．

解答：解：（1）f(x)=

x +1

x+3

，其定義域為[0，a]；（2分）
（2）令t=

x

+1，則t∈[1，

3

2

]且x=（t-1）²
∴y=f(x)=

t

(t-1)2+3

=

t

t2-2t+4

（5分）
∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴

t

t2-2t+4

在[1，

3

2

]上遞增，即此時f（x）的值域為[

1

3

，

6

13

]（8分）
（3）令t=

x

+1，則t∈[1，1+

a

]且x=（t-1）²∴y=

1

t-2+ 4 t

∵t-2+

4

t

在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴y=

t

t2-2t+4

在[1，2]上遞增，[2，1+

a]

上遞減，（10分）
t=2時

t

t2-2t+4

的最大值為

1

2

，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2時

1

3

＜

t

t2-2t+4

∴由f（x）的值域恰為[

1

3

，

1

2

]，由

t

t2-2t+4

=

1

3

，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰為[

1

3

，

1

2

]時，1+

a

≤4?a≤9（13分）
所求a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）

點評：本題考查函數的定義域，函數的值域，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．