Question

【題目】如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點，在線段上是否存在一點使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，也請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點.

【解析】

（1）由幾何體的結構特征和線面垂直的判定定理，證得平面，得到，進而得到，再由四邊形為正方形，所以，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）取的中點，分別連接，，，利用幾何體的結構特征和線面平行的判定和性質，即可求解.

（1）由題意，三棱柱為直三棱柱，所以，

又因為，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，所以，

又因為，所以，

在中，，，，所以，

又因為，所以四邊形為正方形，所以.

因為，平面，平面，

所以平面.

（2）當點為的中點時，平面.

證明如下：取的中點，分別連接，，，

所以，分別為，的中點，所以，

又因為平面，平面，所以平面，

因為，分別是直三棱柱側棱，的中點，所以，

又因為平面，平面，所以平面，

又∵，平面，平面，所以平面平面.

又因為平面，所以平面.