Question

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人）另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）．現用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數）．從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽查結果如下表1和表2．
表1

生產能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	8	x	3	2

表2

生產能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	6	y	27	18

（Ⅰ）先確定x、y的值，再補齊下列頻率分布直方圖．

（Ⅱ）完成下面2×2列聯表，并回答能否有99.9%的把握認為“工人的生產能力與工人的類別有關”？

生產能力分組	[110，130）	[130，150）	合計
A類工人
B類工人
合計

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k）	0，05	0.025	0.01	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析：（I）根據總體數和樣本容量，得到每個個體被抽到的概率，得到兩個組各自需要抽取的人數，減去已知的人數，得到x，y的值，根據所給的兩個頻率分布表做出頻率分布直方圖．
（II）先根據所給的數據得到列聯表，把列聯表中的數據代入求觀測值的公式，求出這組數據的觀測值，把觀測值同臨界值表中的數據進行比較得到對應的概率的值，得到有99.9%的把握認為“工人的生產能力與工人的類別有關”

解答：解：（Ⅰ）∵從該工廠的工人中抽取100名工人，其中250名A類工人，另外750名B類工人，
∴要從A類工人中抽取25個人，從B類工人中抽取75個人，
∴x=25-8-3-2=12，y=75-6-27-18=24
∴頻率分布直方圖是：

（II）根據所給的數據可以得到列聯表：

生產能力分組	[110，130）	[130，150）	合計
A類工人	20	5	25
B類工人	30	45	75
合計	50	50	100

把列聯表中的數據代入求觀測值的公式得到K²=

100(900-150)2

50×50×25×75

=12．
由于K²＞10.828，
所以有99.9%的把握認為“工人的生產能力與工人的類別有關”．

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗的應用，考查分層抽樣，本題解題的關鍵是根據根據分層抽樣做出兩個數值，再進行下面的畫圖和列表，本題是一個中檔題目．