Question

【題目】已知橢圓的長半軸為，短半軸為.橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為方程的一根，長半軸為，短半軸為.若，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，過橢圓上且位于軸左側的一點作圓的兩條切線，分別交軸于點、．試推斷是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由可得橢圓的離心率為，故解得，.所以，所以橢圓的方程為. ．．．．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）設點（），，，則直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離為，即，即，即，同理．由此可知，，為方程的兩個實根，所以，， ．因為點在橢圓上，所以，即，則，令，則，因為，所以，，即，

故存在點滿足題設條件．……12分

【命題意圖】本題考查橢圓的標準方程，圓的切線問題等基礎知識，意在考查轉化與化歸能力，綜合分析問題和解決問題的能力，及基本運算能力．