Question

定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2的奇函數, 且當x∈(0, 1)時, f (x)＝.
（1）求f (x)在[－1, 1]上的解析式;  
（2）證明f (x)在(—1, 0)上時減函數;
（3）當λ取何值時, 不等式f (x)＞λ在R上有解?

Answer 1

（1） f(x)=. （2）用定義或導數法均可證明；（3）λ＜ 

試題分析：（1）當x∈(-1, 0)時, - x∈(0, 1).∴由題意可得f(-x)=.
又f(x)是奇函數,∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分
∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分
又f(x)是最小正周期為2的函數,∴對任意的x有f(x+2)= f(x).
∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分
∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為 f(x)=.    6分
（2）f (x)在(—1, 0)上時的解析式為，∵，∴，又-1<x<0，∴，∴，∴，∴f (x)在(—1, 0)上時減函數   10分
（3）不等式f(x)＞λ在R上有解的λ的取值范圍就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分
由（2）結論可得，當x∈(-1, 0)時，有-< f(x)= -< -；
又f(x)是奇函數,當x∈(0, 1)時，有< f(x)＝<；
∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, ).  14分
由f(x)的周期是2；故f(x)在R上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, )  15分
∴λ＜時，不等式f(x)＞λ在R上有解.    16分
點評：利用奇偶性求函數解析式問題要注意：（1）在哪個區間求解析式，就設在哪個區間里；（2）轉化為已知的解析式進行代入；（3）利用的奇偶性把寫成或，從而求出．