Question

已知，點在函數的圖象上，其中
（1）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和．

Answer 1

（1）證明詳見解析; ；（2）

試題分析：(1)把點（a_n，a_n+1）代入f(x)=x²+2x中，整理可得遞推公式a_n+1+1=(a_n+1)²，兩邊取常用對數，整理可證是公比為2，a₁=2的等比數列，然后由數列的通項公式可推出數列{an}的通項公式.（2）由已知遞推公式a_n+1=a_n²+2a_n變形整理得，代入中，整理可得最后利用裂項法求數列的前n項和S_n.
試題解析：(Ⅰ)由已知,  
   ,兩邊取對數得 ,即 
是公比為2的等比數列.
   (*)
由(*)式得 
(2)      
又 
  
.