Question

【題目】如圖是函數一個周期內的圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.

（1）求函數和的解析式；

（2）若，求的所有可能的值；

（3）求函數（為正常數）在區間內的所有零點之和.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或1；（3）當時，；當時，；當時，171.

【解析】

（1）由三角函數圖象求得，，，再由三角函數圖象的平移可得；

（2）由，解得或,再求解即可；

（3）先解得，再討論與1的大小關系，再解三角方程，結合正弦函數圖象的對稱性求各零點之和即可.

解：（1）由圖可知,,即，即，

則，又，又，所以，

故，

將的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得函數解析式為，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則，

即，；

（2）當，即，解得即或,即或或（）

當時，所以，

當時，，

當時，，

故的所有可能的值為或1；

（3）令，即，即，

解得，又因為，又，所以 ，

當時，由函數的對稱軸方程可得在，()有兩個解，且兩解之和,

則在的根之和為，

當 ，即時，方程無解，

當 ，即時，方程的解為 ，(),則在的根之和為，

當 ，即時，方程在，()有兩個解，且兩解之和,

則在的根之和為，

綜上可得：當時，函數在區間內的所有零點之和為.

當時，函數在區間內的所有零點之和為.

當時，函數在區間內的所有零點之和為.