Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x
(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，f＞f；
(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明f′(x0)＜0.

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝      …1分
①若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．…………2分
②若a＞0，則由f′(x)＝0得x＝，且當(dāng)x∈(0, )時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＞時(shí)，
f′(x)＜0.所以f(x)在(0, )單調(diào)遞增，在(,)單調(diào)遞減．…………4分
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f－f，則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a   …………………………6分
當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′(x)＞0，…………7分   而g(0)＝0，所以g(x)＞0.
故當(dāng)0＜x＜時(shí)，f＞f.    …………………………9分
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故a＞0，…………10分
從而f（x）的最大值為，且.…………………………11分
不妨設(shè),則.由（2）得
，而f(x)在(,)單調(diào)遞減．
∴……14分于是.由（1）知，.…………15分

略