Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．

（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；
（3）求點G到平面BCE的距離．

Answer 1

（1）點F應是線段CE的中點（2）（3）

試題分析：解法一：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸分別經過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），
B（2，0，1），，
（1）點F應是線段CE的中點，下面證明：

設F是線段CE的中點，則點F的坐標為，
∴，取平面ACD的法向量，
則，∴BF∥平面ACD；    
（2）設平面BCE的法向量為，則，且，
由，，
∴，不妨設，則，即，
∴所求角θ滿足，∴；    
（3）由已知G點坐標為（1，0，0），∴，
由（2）平面BCE的法向量為，∴所求距離．                      
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

設F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，連接FH，則FH∥=，
∴FH∥=AB，∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）由已知條件可知△ACD即為△BCE在平面ACD上的射影，
設所求的二面角的大小為θ，則，
易求得BC=BE=，CE=，∴，
而，∴，而，∴；        
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，設G點到平面BCE的距離為h，則V_C﹣BGE=V_G﹣BCE即，由，，，
∴即為點G到平面BCE的距離．
點評：當已知條件中出現了從同一點出發的三線兩兩垂直或可以平移為三線兩兩垂直時，常利用空間向量求解，只需寫出各點坐標代入相應公式即可