【題目】如圖，某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園，其中O為扇形所在圓的圓心，AOB＝
，OA，OB，
為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要，市政部門擬在上選取一點M，新建道路OM及與OA平行的道路MN（點N在線段OB上），設AOM＝
.
（1）如何設計，才能使市民從點O出發(fā)沿道路OM，MN行走至點N所經過的路徑最長？請說明理由；
（2）如何設計，才能使市民從點A出發(fā)沿道路
，MN行走至點N所經過的路徑最長？請說明理由.
【答案】（1）當
時，市民從點O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經過的路徑最長，詳見解析（2）當
時，市民從點A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經過的路徑最長，詳見解析
【解析】
（1）由題意知OM＝OA＝R，且
，由正弦定理得
，則
，根據正弦函數(shù)的單調性即可求出答案；
（2）由題意得市民從點A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經過的路徑長
，求導得函數(shù)的單調性，由此可求出答案．
解：（1）由題意知OM＝OA＝R，且，
在△OMN中，由正弦定理得，
于是，
從而市民從點O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經過的路徑長
，
∴當
即時，
取最大值，
即當時，市民從點O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經過的路徑最長；
（2）市民從點A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經過的路徑長，
，
當，時，
，從而
恒成立，
∴
在
上單調遞增，
∴當時，取最大值，
即當時，市民從點A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經過的路徑最長．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某總公司在A，B兩地分別有甲、乙兩個下屬公司同時生產某種新能源產品（這兩個公司每天都固定生產50件產品），所生產的產品均在本地銷售.產品進入市場之前需要對產品進行性能檢測，得分低于80分的定為次品，需要返廠再加工；得分不低于80分的定為正品，可以進入市場.檢測員統(tǒng)計了甲、乙兩個下屬公司100天的生產情況及每件產品盈利虧損情況，數(shù)據如下表所示：
表1：
甲公司 | 得分 |
|
|
|
|
|
件數(shù) | 10 | 10 | 40 | 40 | 50 | |
天數(shù) | 10 | 10 | 10 | 10 | 80 |
表2：
乙公司 | 得分 |
|
|
|
| |
件數(shù) | 10 | 5 | 40 | 45 | 50 | |
天數(shù) | 20 | 10 | 20 | 10 | 70 |
表3：
每件正品 | 每件次品 | |
甲公司 | 盈2萬元 | 虧3萬元 |
乙公司 | 盈3萬元 | 虧3.5萬元 |
（1）分別求甲、乙兩個公司這100天生產的產品的正品率（用百分數(shù)表示）；
（2）試問甲乙兩個公司這100天生產的產品的總利潤哪個更大?說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．
（1）若m＝1，求
的最小值；
（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求實數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應，全國人心抗擊疫情.下圖表示
月
日至
月
日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯誤的是（ ）
A.
月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢
B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)
C.月
日至月
日新增確診人數(shù)波動最大
D.我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月
日左右達到峰值
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系中有16個格點(i，j)，其中0≤i≤3，0≤j≤3.若在這16個點中任取n個點，這n個點中總存在4個點，這4個點是一個正方形的頂點，求n的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某高速公路全程設有2n(n≥4，
)個服務區(qū).為加強駕駛人員的安全意識，現(xiàn)規(guī)劃在每個服務區(qū)的入口處設置醒目的宣傳標語A或宣傳標語B.
（1）若每個服務區(qū)入口處設置宣傳標語A的概率為
，入口處設置宣傳標語B的服務區(qū)有X個，求X的數(shù)學期望；
（2）試探究全程兩種宣傳標語的設置比例，使得長途司機在走該高速全程中，隨機選取3個服務區(qū)休息，看到相同宣傳標語的概率最小，并求出其最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知點
到直線
的距離為3.
（1）求實數(shù)
的值；
（2）設
是直線
上的動點，
在線段
上，且滿足
，求點軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過拋物線
的焦點
，
上的點
與的兩個焦點所構成的三角形的周長為
．
（1）求的方程；
（2）若點關于原點
的對稱點為
，過點作直線
交于另一點
，交
軸于點
，且
∥
．判斷
是否為定值，若是求出該值；若不是請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】把一塊邊長為
的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對應邊垂直）剪去六個全等的四邊形（陰影部分），折起六個矩形焊接制成一個正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽略），設容器的底面邊長為
.
（1）若
，且該容器的表面積為
時，在該容器內注入水，水深為
，若將一根長度為
的玻璃棒（粗細忽略）放入容器內，一端置于
處，另一端置于側棱
上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；
（2）求該容器的底面邊長
的范圍，使得該容器的體積始終不大于
.
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