Question

設(shè)m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，給出下列四個(gè)命題：
①；       ②在（1+x）ⁿ的展開式中，若只有x⁴的系數(shù)最大，則n=7；
③；      ④．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得①正確，②不正確，由組合數(shù)的計(jì)算公式可得③正確，根據(jù)kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，可得④正確，從而得出結(jié)論．
解答：解：由于m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得①成立，故①正確．
②在（1+x）ⁿ的展開式中，若只有x⁴的系數(shù)最大，故只有最大，故n=8，故②不正確．
再由組合數(shù)的計(jì)算公式可得==，==，
故③正確．
④根據(jù)=nC_n-1+nC_n-1¹+nC_n-1²+nC_n-1³+…+nC_n-1^n-1
=n（C_n-1+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，故④正確．
綜上，①③④正確，②不正確，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)： 以及kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，屬于中檔題．