Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

（Ⅱ）當(dāng)時， ，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數(shù)求導(dǎo)，寫出切線方程，討論方程根的分布可得過點有三條直線與曲線相切；

(2)利用題意構(gòu)造函數(shù)，由新函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：解法一：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

設(shè)直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為： ，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴，

設(shè)，

∵， ， ，

∴在三個區(qū)間上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）∵當(dāng)時， ，即當(dāng)時，

∴當(dāng)時， ，

設(shè)，則，

設(shè)，則．

（1）當(dāng)時，∵，∴，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）

∴在上單調(diào)遞增，

又∵，∴當(dāng)時， ，從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ．

（2）當(dāng)時，令，得，∴，

故當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞減，

又∵，∴當(dāng)時， ，

從而當(dāng)時， ，

∴在上單調(diào)遞增，又∵，

從而當(dāng)時， ，即

于是當(dāng)時， ，

綜合得的取值范圍為．

解法二：（Ⅰ）當(dāng)時， ，

，

設(shè)直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為，

因為切線過點，所以，

即 ，

∵，∴

設(shè)，則，令得

當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切．

（Ⅱ）同解法一．