Question

已知關(guān)于x的不等式|x-2|+|x-a|≥2a．?
（I）若a=1，求不等式的解集；?
（II）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．?

Answer 1

分析：（I）若a=1，不等式即|x-2|+|x-1|≥2，由絕對(duì)值的意義可得而

1

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于2，

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離也正好等于2，由此求得不等式的解集．
（II）若不等式的解集為R，則 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值．而由絕對(duì)值的意義可得|x-2|+|x-1|的最小值為|a-2|，故有|a-2|≥2a，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）若a=1，不等式即|x-2|+|x-1|≥2，而|x-2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而

1

2

 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于2，

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離也正好等于2，
故不等式的解集為{x|x≤

1

2

，或 x≥

5

2

 }．（5分）
（II）若不等式的解集為R，則 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值，由上可得|x-2|+|x-1|的最小值為|a-2|，
∴|a-2|≥2a，∴a-2≥2a，或 a-2≤-2a．
解得 a≤-2，或 a≤

2

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

2

3

]．      （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．