Question

已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x，(x∈R)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)f（x）滿足f（x+m）=f（m-x），試求實(shí)數(shù)m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為

3

sin(2x-

π

6

)，可得它的周期T．
（2）由條件可得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=m，故有 sin(2m-

π

6

)=±1，求得 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），可得實(shí)數(shù)m的最小正值．

解答：解：（1）∵f(x)=3sinxcosx-

3

2

cos2x=

3

[

3

2

sin2x-

1

2

cos2x]=

3

sin(2x-

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π．
（2）函數(shù)f（x）滿足f（x+m）=f（m-x），即函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=m，
即當(dāng)x=m時(shí)f（x）取最大（小）值時(shí)，故有 sin(2m-

π

6

)=±1．
所以，2m-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即 m=

kπ

2

+

2π

3

（k∈Z），
∴所求實(shí)數(shù)m的最小正值是

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，三角函數(shù)的周期性和求法，
屬于中檔題