Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（2b﹣c）cosA=acosC代入正弦定理得：

（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，

由B∈（0，180°），得到sinB≠0，

所以cosA= ，又A∈（0，180°），

則A的度數為60°

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16，

bc≤（ ）2，當且僅當b=c=4時等號成立，

∴16=（b+c）2﹣3bc≥=（b+c）2﹣3（ ）2= （b+c）2，

∴b+c≤8，

∵b+c＞4，

∴△ABC的周長取值范圍為：（8，12]

【解析】（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．（2）利用余弦定理，基本不等式，三角形兩邊之和大于第三邊即可得解△ABC周長的取值范圍．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．